03. (CESGRANRIO – PETROBRAS– ADMINISTRADOR/2010)

Um posto de combustível comprou 6 bombas (idênticas) de abastecimento, que serão pintadas, antes de sua instalação, com uma única cor, de acordo com o combustível a ser vendido em cada uma. O posto poderá vender etanol (cor verde), gasolina (cor amarela) e diesel (cor preta). De quantas maneiras as bombas podem ser pintadas, considerando a não obrigatoriedade de venda de qualquer tipo de combustível?
(A) 20
(B) 28
(C) 56
(D) 216
(E) 729

COMENTÁRIO

Tem dois raciocínios que os melhores professores de raciocínio lógico explicam para essa questão. Vou fazer os dois.

1ª Resolução:

A primeira é pela fórmula da combinação com repetição. Como funciona. Sempre que você tiver que necessariamente repetir os elementos da combinação, essa será uma combinação com repetição. Aqui temos 6 bombas idênticas (o que nos indica que não importa a ordem, sendo uma combinação) e somente 3 cores, o que nos indica que pelo menos 1 cor terá que ser repetida. Diferente do raciocínio se tivéssemos pessoas e lugares, que você não pode repetir pessoas nos lugares.

Dito isso, a fórmula para combinação com repetição é meio decoreba mesmo.

Cr(n,k) = C(n+k-1,k). É transformar uma combinação com repetição em uma combinação comum, somando o número de elementos que serão repetidos, mas o número de elementos que recebem e diminuindo 1. Como ficaria na questão?

Cr(3,6) = C(3+6-1,6) => C(8,6).

Agora fica tranquilo, só aplicar a fórmula da combinação:

C(n,k) = n!/(n-k)!k!
C(8,6) = 8!/(8-6)!6!
C(8,6) = 8x7x6!/2!6!
C(8,6) = 56/2 = 28

2ª Resolução:

A segunda é pensando por meio de uma permutação. Como assim?
(Vou tentar usar a mesma metodologia (mesmos exemplos) do professor que me ensinou, e provavelmente será o mesmo de vários locais, mas se não entenderem me avisem, tá? Eu tento mudar um pouco)

Imagine que vamos fazer um armário dividido por cores e colocar as bombas nesse armário, ok?

Assim, para o armário ter três locais (3 cores diferentes) ele precisará ter duas divisórias, ficando assim:

Pronto, agora temos 3 lugares para colocarmos nossas bombas, que vou representar por bolinhas e colocar aleatoriamente em qualquer lugar.

Agora temos 2 divisórias e 6 bombas para ficarmos mexendo e descobrindo de quantas maneiras.

Faremos uma mudança nas posições, ou seja, permutaremos essas posições. As posições de que? Das bombas e das divisórias, as duas poderão ser trocadas de lugar. Podemos inclusive usar o mesmo raciocínio dos anagramas, já que lá é uma permutação de letras da palavra. Vamos permutar 8 objetos, sendo que 2 são iguais (divisórias) e os outros 6 também são iguais entre si. Voltando ao exemplo do anagrama, é como se tivéssemos uma palavra de 8 letras, sendo DBBBDBBB. Essa seria a palavra para fazermos o anagrama. então ficamos com

Permutação de 8, sendo repetidos 2 e 6 => P82,6= 8!/2!6!

P82,68x7x6!/2!6!
P82,656/2 = 28

RESPOSTA LETRA B

Só fazer uma observação. Por que não pode ser um simples 3x3x3x3x3x3? Que daria 729 e teria uma respostinha pronta pra gente!

Por que as bombas são idênticas, então a ordem não importa. Então a combinação de bombas VERDE, VERDE, VERDE, VERDE, VERDE, PRETO seria igual a PRETO, VERDE, VERDE, VERDE, VERDE, VERDE.

 

15 Comentários

  1. Claudio Korody

    Bruno

    Outro modo,
    Por observação nas possibilidades (vide abaixo tabela de possibilidades), chega-se a uma soma de uma progressão aritmética sendo a1 = 1 , a7=7 e r=1. Soma = ((1+7)/2)x7 = 28

    VERDE 6554443333222221111110000000
    AMARELO 0102103210432105432106543210
    PRETO 0010120123012340123450123456

    = 1+2+3+4+5+6+7

    Responder
  2. Claudio Korody

    Bruno
    Invertendo a tabela de possibilidades,fica mais fácil deduzir a P.A. :
    Quando pintamos seis bombas de verde (V) nenhuma bomba será pintada de amarela (A) nem de preto(P), tendo apenas uma possibilidade ( a1=1).
    Quando pintamos cinco bombas de verde, uma bomba será verde ou preta , tendo portanto duas possibilidades ( a2=2).
    E assim sucessivamente conforme tabela:
    V–>A–>P
    6–>0–>0…………. 1 possibilidade
    5–>1–>0
    5–>0–>1………….+2 possibilidades
    4–>2–>0
    4–>1–>1
    4–>0–>2………….+3 possibilidades
    3–>3–>0
    3–>2–>1
    3–>1–>2
    3–>0–>3………….+4 possibilidades
    2–>4–>0
    2–>3–>1
    2–>2–>2
    2–>1–>3
    2–>0–>4………….+5 possibilidades
    1–>5–>0
    1–>4–>1
    1–>3–>2
    1–>2–>3
    1–>1–>4
    1–>0–>5………….+6 possibilidades
    0–>6–>0
    0–>5–>1
    0–>4–>2
    0–>3–>3
    0–>2–>4
    0–>1–>5
    0–>0–>6………….+ 7 possibilidades

    Portanto 1+2+3+4+5+6+7 possibilidades
    a1=1
    a7-7
    r=1
    n=7 de uma Progressão aritimética.

    Abs

    Responder
  3. Claudio Korody

    Bruno

    Favor corrigir o parágrafo que escrevi para :
    Quando pintamos cinco bombas de verde, uma bomba será amarela ou preta , tendo portanto duas possibilidades ( a2=2).

    Responder
  4. Jânio

    Olá Bruno,

    pela primeira vez estou visitando o seu website e estou muito satisfeito pelas explicaçoes. Parabéns pelo seu trabalho. Fiz a prova da Petrobras em 2011 e graças a vc estou vendo o quanto é fácil as questões que errei no concurso…Abraços..

    Responder
  5. Bernard

    Bruno, o que entendi da frase “De quantas maneiras as bombas podem ser pintadas, considerando a não obrigatoriedade de venda de qualquer tipo de combustível?”, é que não importa se teremos todas de uma cor só, ou apenas duas cores no grupo de bombas. Desta forma, entendo que poderia ser o 3x3x3x3x3x3. Não enttra na minha cabeça, considerando a última frase da questão, que sejamos obrigados a considerar que temos que ter as 3 cores distribuidas dentre as bombas. Me ajuda?

    Responder
    1. MHL

      Concordo contigo Bernard. Não encontrei nada no enunciado que nos obrigue a ter de usar as 3 cores. Justamente por essa frase que você mencionou é que o meu raciocínio foi igual ao seu.

      Responder
      1. Guto

        Estou com o mesmo pensamento! aff.. pela última frase eu poderia sim ter todas de uma cor só…

        Responder

        1. Guto, Bernard e MHL.

          Primeiramente deculpa na demora pelo esclarecimento da dúvida. Mas eu falei no último parágrafo, após a resposta.

          Quando eu faço 3x3x3x3x3x3 eu estou considerando que se as bombas foram dispostas da seguinte maneira:
          VERDE, VERDE, VERDE, VERDE, VERDE, PRETO
          seria diferente de:
          PRETO, VERDE, VERDE, VERDE, VERDE, VERDE

          Estaríamos apenas em uma permuta simples, mas quando a questão nos fala que as bombas são exatamente idênticas, ele nos fala que as duas ordens que coloquei acima na verdade são a mesma e não devem ser contadas duas vezes.
          Em nenhum momento de fato digo que não podem ser todas de uma cor apenas, o que falo é que NUNCA poderá ser todas de cores diferentes, já que temos apenas 3 cores para 6 bombas, pelo menos uma cor há de repetir, por isso a fórmula da combinação com repetição.

          Responder
          1. Hay

            Também fui no mesmo raciocínio dos guris.
            Achei que cada bomba poderia ter qualquer uma das cores, portanto, seria 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
            =/

  6. Gabriela Chaves

    Bruno, sugestão de um outro macete que aprendi em um curso de Estatística:
    1) São 3 tipos de combustível para 6 bombas, logo, substituímos os tipos de combustível por letras e igualamos à quantidade de bombas: x+y+z=6
    2) Contamos o número de sinais de “+” , que este caso são 2 e adicionamos ao 6, fica uma C(8,6) = C(8,2)
    3) C(8,2)= 8×7
    —— (dividido) = 28
    2×1

    Responder
  7. aline

    olá bruno gostei muito do seu site, obrigada pela ajuda.
    gabriela obrigada pelo macete, consegui compreender com mais facilidade.

    Responder

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