69. (CESGRANRIO – TRANSPETRO – ADMINISTRADOR/2011)

O esquema abaixo ilustra as 4 primeiras linhas de um mosaico triangular, formadas por 32 triângulos pequenos, todos iguais.

O mosaico triangular completo será construído com até 500 peças.
O número de linhas do maior mosaico possível é

(A) 15
(B) 16
(C) 21
(D) 58
(E) 450

COMENTÁRIO
(Por Bruno Cavalcante)

A questão nos pede o número de linhas, então temos que achar alguma relação entre elas para podermos estabelecer quantas linhas podermos formar com esses 500 triângulos.

Se notarmos bem, a primeira linha tem 2 triângulos. A segunda tem 6, a terceira tem 10 e a quarta 14. Ou seja, está aumentando e cada vez somando quatro. O que no dá uma Progressão Aritmética de razão 4. Veja a abaixo:

Pronto, visto isso, partimos para a questão.

Ele diz que terá no máximo 500 triângulos e quer saber quantas linha tem. Traduzindo para a linguagem da P.A. 500 seria a soma dela e a quantidade de linhas seria a posição do último termo, ou seja, o “n” do an.

Para isso precisaremos das fórmulas da soma e do termo geral, assim temos:

Pelos dados da questão, temos:
Sn = 500
A1 = 2
r = 4

Primeiro vamos simplificar o an de acordo com os dados da questão, assim temos:

Pronto, agora pegamos esse an e substituímos junto com os dados na fórmula da soma da P.A. e vamos resolvendo até chegar no final.

Chegou nessa parte, não tente fórmulas mirabolantes que se aprende por aí para tirar raiz quadrada, pelo menos não nessa questão, pode ser muito bom para outras. Aqui você vai jogar com os itens. Todo mundo sabe que 20 x 20 = 400. Então o item 21 e os acima dele já são descartados, o que só nos resta 15 ou 16. Fazendo os cálculos:

15 x 15 = 225
16 x 16 = 256

O número de linhas “n” é algum número entre 15 e 16, mas a questão quer o número máximo de linhas com ATÉ 500 peças, pelos resultados acima nos diz que 500 não é o suficiente para fazer 16 linhas completas, mas é o suficiente para fazer 15. Ou seja, o número máximo de linhas que podemos fazer com até 500 peças é de 15 linhas.

RESPOSTA LETRA A

6 Comentários

  1. gabriela

    Olá, sei que não tem muita lógica, mas na hora foi o que saiu, rs dividi as 500 peças por 32 e o resultado 15,6. Tem alguma explicação ou foi sorte? vlw

    Responder
  2. Marcello-ES

    Olá Bruno, no dia da prova eu tive a felicidade de perceber duas relações nesta figura (faltando +- 30 minutos, imagina a alegria):

    1º) Base (b) = 2 x Altura (h)
    enxergando as arestas das peças como unidade de medida, vemos que há relação, ex:
    b = 8 -> h = 4

    *Essa relação também se reproduz para as alturas 1, 2 e 3. Teremos como bases 2, 4 e 6, como podemos observar na própria figura.

    2º) Base (b) x Altura (h) = Nº de Peças.
    A figura possui Base = 8 e Altura = 4, resultou em 32, que neste caso é equivalente ao nº de peças. Essa relação também se demonstra em outros níveis, ex:
    base = 3 x altura = 6 -> 18 peças.

    Temos então o sistema:
    1) b = 2 x h
    2) b x h = peças

    fazendo 1 em 2, temos:
    2 x h^2 = peças

    A partir daqui, a solução se deu testando as alturas das alternativas. Como voce disse, altura 20 ao quadrado x 2 ultrapassa 500, que é o limite de peças, então ficamos só com 15 ou 16 de alternativas.

    Testando (h^2 x 2 = peças):
    15) 15^2 = 225; 225 x 2 = 450
    16) 16^2 = 256; 256 x 2 = 512 (excedeu 500)

    Resposta = 15 letra A

    Responder
  3. Mara

    Amigos…

    fui muito mais simplória e fiz o cálculo na mão mesmo:
    LINHAS – qtde de peça por linha – soma das quantidades
    1 2 2
    2 6 8
    3 10 18
    4 14 32
    5 18 50
    6 22 72
    7 26 98
    8 30 128
    9 34 162
    10 38 200
    11 42 242
    12 46 288
    13 50 338
    14 54 392
    15 58 450
    16 62 512
    17 66 578
    18 70 648

    Mas isso é pra alguém que está bem menos preparado do que vcs…

    Responder
      1. ricardo

        se demorar 4 horas para fazer esse calculo mais simples nem precisa mais tentar concurso

        Responder

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